Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению уравнений с параметром. Метод состоит в следующем:
Из уравнения с переменной x и параметра a выразим параметр как функцию от x: .
В координатной плоскости xOa строим график функции .
Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси Oa, на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции , б) пересекает график функции в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее.
Если поставлена задача найти значения x, то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности.
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость . Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами x и y определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.
Описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нем находят применение почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: применение производной к определению точек экстремума, нахождение предела функции, асимптот и т. д.
Пример. При каких значениях параметра уравнение имеет два корня?
Решение. Переходим к равносильной системе
Из графика видно, что при уравнение имеет 2 корня.
Ответ. При уравнение имеет два корня.
Пример. Найдите множество всех чисел , для каждого из которых уравнение имеет только два различных корня.
Решение. Перепишем данное уравнение в следующем виде:
Теперь важно не упустить, что , и – корни исходного уравнения лишь при условии . Обратим внимание на то, что график удобнее строить на координатной плоскости . На рисунке 4 искомый график – объединение сплошных линий. Здесь ответ «считывается» вертикальными прямыми.
Ответ. При , или , или .
Полезная информация:
История возникновения и причины наркомании
Может показаться, что наркотики появились не так давно, что связано с развитием химии, медицины и других наук, а также с быстрым научно-техническим прогрессом. Однако это не так. Наркотики знакомы людям уже несколько тысяч лет. Их потребляли люди разных культур и в разных целях: во время религиозны ...
Функциональная активность человека и взаимосвязь физической
и умственной деятельности
Функциональная активность человека характеризуется различными двигательными актами: сокращением мышцы сердца, передвижением тела в пространстве, движением глазных яблок, глотанием, дыханием, а также двигательным компонентом речи, мимики. На развитие функций мышц большое влияние оказывают силы грави ...
Содержание деятельности социального педагога по организации
профессионального самоопределения старших школьников
В целях правильного выбора профессии необходимо управление данным процессом, которое осуществляется социальным педагогом. Управление выбором профессии – одна из составных частей проблемы научного управления обществом. В более узком плане применительно к проблеме выбора профессии учащимися социально ...