Пусть и
– отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор
можно представить в виде
.
Пусть А и В-начало и конец вектора (см. рисунок 10). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам
и
. Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем:
. Так как векторы
и
коллинеарны, то
. Так как векторы
и
коллинеарны, то
. Таким образом,
, что и требовалось доказать.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов и
называется число
.
Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается
и называется скалярным квадратом. Очевидно,
.
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1) (коммутативность);
2) (ассоциативность);
3) (дистрибутивность).
Углом между ненулевыми векторами и
называется угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами
и
называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.
Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть и
– данные векторы и
– угол между ними. Имеем:
,
или
.
Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов
,
и
, а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора
будут
и 0, а координатами вектора
будут
и
. Скалярное произведение
. Теорема доказана.
Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Задача 1. Даны векторы и
. Найти длину вектора
, если известно, что
=4,
=3, а угол между векторами
и
равен 60°.
Полезная информация:
Познавательная деятельность детей дошкольного возраста с задержкой
психического развития
Игра – деятельность, выполняемая не для получения какого-либо результата, а ради самой деятельности, забавы. Игра – особая форма деятельности, отличительными чертами которой являются выполнение действий и переживание чувств в воображаемом плане. Игра – форма деятельности в условных ситуациях, напра ...
Методы определения нитратов и нитритов
Определить по внешнему виду содержание нитратов в овощах и фруктах трудно или вообще невозможно. У вегетирующих (с листьями и стеблями) растений по интенсивности зеленой окраски листьев и черешков, особенно нижних ярусов, можно лишь ориентировочно судить: чем она темнее, тем больше нитратов в них с ...
Тест, как форма контроля знаний
Слово «тест» английского происхождения и на языке оригинала означает «испытание», «проверка». Тест обученности — это совокупность заданий, сориентированных на определение (измерение) уровня (степени) усвоения определенных аспектов (частей) содержания обучения. Правильно составленные тесты обученнос ...