Пусть и
– отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор
можно представить в виде
.
Пусть А и В-начало и конец вектора (см. рисунок 10). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам
и
. Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем:
. Так как векторы
и
коллинеарны, то
. Так как векторы
и
коллинеарны, то
. Таким образом,
, что и требовалось доказать.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов и
называется число
.
Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается
и называется скалярным квадратом. Очевидно,
.
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1) (коммутативность);
2) (ассоциативность);
3) (дистрибутивность).
Углом между ненулевыми векторами и
называется угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами
и
называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.
Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть и
– данные векторы и
– угол между ними. Имеем:
,
или
.
Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов
,
и
, а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора
будут
и 0, а координатами вектора
будут
и
. Скалярное произведение
. Теорема доказана.
Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Задача 1. Даны векторы и
. Найти длину вектора
, если известно, что
=4,
=3, а угол между векторами
и
равен 60°.
Полезная информация:
Двигательная активность и умственное развитие человека
Проблема соотношений психического и физического, умственного и моторного развития человека на протяжении длительного периода ее изучения не получила однозначного решения. В одних случаях утверждалось благотворное влияние физической, двигательной активности на психическое развитие, в других оно даже ...
Отработка методики реализации технологии командно-игровой деятельности
Игровое занятие проводилось в группе студентов II-го курса Харьковского автотранспортного техникума специальности 5.090240: Обслуживание и ремонт автомобилей и двигателей. Перед проведением занятия в группе Т-24 был проведен социометрический тест с целью получения информации, на основании которой п ...
Специфика формирования подростковой субкультуры
В последние десятилетия повышенный интерес ученых вызывают подростковые субкультуры. Связано это с тем обстоятельством, что они стали важным фактором спонтанного обновления современного общества. Подростковая субкультура заявила о себе как об элементе механизма культурных инноваций, обеспечивающих ...