Основные операции над векторами

Далее rBQC подобен rDQA с коэффициентом подобия β, следовательно, и . Тогда , а значит, и точка Q лежит на прямой MN. Таким образом, прямая PQ проходит через точки M и N.

Задача №5.

В rABC на сторонах AB и AC отмечены точки M и N так, что , . Отрезки CM и BN пересекаются в точке K.

1.) Найти и .

2.) Выразить вектор через и .

, ,

,

,

.

Аналогично, .

По условию, и , следовательно,

, откуда получаем следующую систему уравнений:

Решая эту систему уравнений, находим: , ,

.

Рассмотрим два частных случая:

I.) K = G – точка пересечения медиан rABC. Тогда и , т.е. любые две медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении , считая от вершины. Отсюда следует, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке G. Формула дает , откуда для любой точки O будет при , получаем, что . Это равенство означает, что G – центр тяжести rABC.

II.) K = I – центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис в rABC). Обозначим – длины сторон BC, AC, AB. По свойству биссектрисы , откуда . Аналогично . Находим, что и .

Формула дает , откуда для любой точки O будет .

Задача №6.

Доказать, что середины диагоналей четырехугольника, а так же середина отрезка, соединяющего точки пересечения его противоположных сторон, лежат на одной прямой (прямая Гаусса четырехугольника).

ABCD – данный четырехугольник.

, .

K, L, M – середины AC, BD, EF.

Пусть , . По формуле из Задачи №5 находим:

.

Далее: , ,