Основные операции над векторами

Координаты вектора

Пусть вектор имеет началом точку А1(х1; у1), а концом точку А2(х2; у2) (см. рисунок 4).

Координатами вектора будем называть числа а1=х2-х1, а2=у2-у1. Принято записывать (а1; а2) или просто . Координаты нулевого вектора равны нулю.

Применив формулу, выражающую расстояние между двумя точками по их координатам, выводится формула определения абсолютной величины (модуля) вектора с координатами а1 и а2, которая будет равна .

Теорема. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Обратная: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Данную теорему и обратную ей можно доказать двумя способами.

Доказательство 1. Пусть А1(х1; у1) и А2(х2; у2) – начало и конец вектора . Так как равный ему вектор получается из вектора параллельным переносом, то его началом и концом будут соответственно , . Отсюда видно, что оба вектора и имеют одни и те же координаты: х1-х2, у1-у2.

Обратное утверждение доказывается следующим образом. Пусть соответствующие координаты векторов и равны. Докажем, что векторы равны.

Пусть и – координаты точки , а и – координаты точки . По условию теоремы: , . Отсюда , . Параллельный перенос, заданный формулами

, ,

переводит точку А1 в точку , а точку А2 в точку , т.е. векторы и равны, что и требовалось доказать.

Доказательство 2. Пусть векторы и равны. Это значит, что они имеют одинаковые направления и равные длины: (см. рисунок 4). прямоугольные треугольники А1А2А и В1В2В равны по гипотенузе и острому углу. Из их равенства следует равенство катетов: А1А=В1В и АА2=ВВ2 или, учитывая координаты точек А1(х1, у1), А2(х2, у2), В1(х3, у3), В2(х4, у4), получим х2-х1=х4-х3 и у2-у1=у4-у3.т.е. координаты равных векторов равны.

Пусть координаты векторов и равны. Тогда катеты прямоугольных треугольников А1А2А и В1В2В равны и DА1А2А=DВ1В2В. Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз А1А2 и В1В2, т.е. , и параллельность прямых А1А2 и В1В2, так как ÐА1А2А=ÐВ1В2В. Следовательно, векторы и равны, так как они имеют одинаковые направления и равные длины. Что и требовалось доказать.

Задача 1. Доказать, что четырехугольник АВСD – параллелограмм, если заданы координаты его вершин: А (2; 3), В (4; 4), С (8; 4), D (6; 1).