Методические особенности изучения темы «Подобные треугольники»

Страница 2

§4. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников

Отношение отрезков AB и CD называется отношение их длин при данном выборе единицы измерения; т. е. число . Это число не зависит от выбора единицы измерения.

Пусть в треугольниках АВС и А1В1С1 углы соответственно равны: , , . В этом случае стороны АВ и А1В1, ВС и В1С1, СА и С1А1 называются сходственными.

Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

, , , (1)

(2)

Обозначение. АВС~А1В1С1.

Из определения подобных треугольников непосредственно вытекает, что если два треугольника равны, то они подобны; если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник подобен первому; если первый треугольник подобен второму, а второй третьему, то первый треугольник подобен третьему треугольнику.

Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).

Первый признак подобия треугольников.

Теорема 1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 два треугольника, у которых , .

По теореме о сумме углов треугольника , поэтому, . Таким образом, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А1В1С1. Так как и , то по следствию (Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.).

и .

Из этих равенств получаем: . Аналогично используя равенства , , получим . Итак, сходственные стороны треугольников АВС и А1В1С1 пропорциональны, следовательно, треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников.

Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых , . Докажем, что АВС~А1В1С1.

Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что .

От луча АВ в полуплоскость, не содержащую точку С, отложим угол 1, равный углу А1, а от луча ВА в туже полуплоскость отложим угол 2, равный углу В1.

Т. к. , то , поэтому стороны углов 1 и 2, не принадлежащие прямой АВ, пересекаются в некоторой точке С2 (рис. б). Треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . С другой стороны, по условию теоремы . Из этих двух равенств получаем: АС = АС2. Следовательно, треугольники АВС и АВС2 равны по первому признаку равенства треугольников (АВ – общая сторона; АС = АС2,, т. к. и ). Отсюда следует, что , а т. к. , то .

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7

Полезная информация:

Основные подходы к пониманию профессиональной мобильности
Проведенный анализ работ по представленной проблеме (Н. Хомский, Р. Уайт, Дж. Равен, Н.В. Кузьмина, А.К. Маркова, В.Н. Куницина, Г.Э. Белицкая, Л.И. Берестова, В.И. Байденко, А.В. Хуторской, Н.А. Гришанова и др.) позволил условно выделить три этапа становления компетентностного подхода в образовани ...

Деятельность социального педагога по формированию толерантности в социальном приюте у младших школьников
Воспитание толерантности у младших школьников представляет собой целенаправленный, планомерно организованный социальным педагогом процесс формирования у детей толерантности. Ребенок, поступая в школу, входит в мир человеческих отношений, и его позитивная социализация является необходимым основанием ...

Кабинетная система в образовательном процессе. Оборудование кабинета иностранного языка
При обучении иностранному языку в школе главной целью является неподготовленная устная речь. Школьников нужно научить использовать усвоенный языковой материал для выражения своих мыслей в соответствии с речевой ситуацией. В методике обучения устной речи значительное место занимает проблема отбора и ...

Категории

Copyright © 2025 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru