§4. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников
Отношение отрезков AB и CD называется отношение их длин при данном выборе единицы измерения; т. е. число . Это число не зависит от выбора единицы измерения.
Пусть в треугольниках АВС и А1В1С1 углы соответственно равны: ,
,
. В этом случае стороны АВ и А1В1, ВС и В1С1, СА и С1А1 называются сходственными.
Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
,
,
, (1)
(2)
Обозначение. АВС~
А1В1С1.
Из определения подобных треугольников непосредственно вытекает, что если два треугольника равны, то они подобны; если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник подобен первому; если первый треугольник подобен второму, а второй третьему, то первый треугольник подобен третьему треугольнику.
Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).
Первый признак подобия треугольников.
Теорема 1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 два треугольника, у которых ,
.
По теореме о сумме углов треугольника
, поэтому,
. Таким образом, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А1В1С1. Так как
и
, то по следствию (Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.).
и
.
Из этих равенств получаем: . Аналогично используя равенства
,
, получим
. Итак, сходственные стороны треугольников АВС и А1В1С1 пропорциональны, следовательно, треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников.
Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых ,
. Докажем, что
АВС~
А1В1С1.
Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что .
От луча АВ в полуплоскость, не содержащую точку С, отложим угол 1, равный углу А1, а от луча ВА в туже полуплоскость отложим угол 2, равный углу В1.
Т. к. , то
, поэтому стороны углов 1 и 2, не принадлежащие прямой АВ, пересекаются в некоторой точке С2 (рис. б). Треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому
. С другой стороны, по условию теоремы
. Из этих двух равенств получаем: АС = АС2. Следовательно, треугольники АВС и АВС2 равны по первому признаку равенства треугольников (АВ – общая сторона; АС = АС2,
, т. к.
и
). Отсюда следует, что
, а т. к.
, то
.
Полезная информация:
Содержание образования
Социальная функция образования - обеспечить передачу и освоение подрастающим поколением социального опыта предшественников, которая выражается в форме материальной и духовной культуры. Содержание образования - один из компонентов учебно-воспитательного процесса. Оно включает в себя общее развитие и ...
Особенности работы с детьми музеев
На данный момент в Пермской области и г. Перми функционирует 140 музеев, из них 47 в областном центре и 53 в области [9, с.4]. Кроме того, зарегистрировано 179 школьных музеев, созданных при непосредственном участии детей. Организация работы с детьми признается одним из приоритетных направлений в с ...
Выявление уровня знаний детей о социальной действительности
Воспитание любви к своей Родине необходимо для полноценного развития личности ребенка. Уважение к историческому прошлому страны, понимание своеобразия природы, культурного наследия, знание достижений в области науки и искусства является основой для развития чувства собственного достоинства и уверен ...