Сопоставление результатов констатирующего и контрольного срезов

8. Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости α, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках M и N. Докажите, что треугольники ABC и MBN подобны.

9. Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ: ВС= 4: 3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку В. докажите, что прямая АD пересекает плоскость α в некоторой точке Е, и найдите отрезок ВЕ.

10. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

11. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.

12. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и E так, что DE=5 см и BD: DA= 2: 3. Плоскость a проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС.

13. В трапеции ABCD основание BC равно 12 см. точка М не лежит в плоскости трапеции, а точка К – середина отрезка ВМ. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок МС в некоторой точке H, и найдите отрезок KH.

14. Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым она пересекается, либо параллельны, либо имеют общую точку.

15. Прямые a и b скрещиваются. Сколько существует плоскостей, проходящих через прямую a и параллельных прямой b?

16. Через вершину А ромба ABCD проведена прямая а, параллельная диагонали BD, а через вершину С – прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые а и СD пересекаются; б) а и b скрещивающиеся прямые.

17. Докажите, что если AB и CD скрещивающиеся прямые, то AD и BC также скрещивающиеся прямые.

18. Даны параллелограмм ABCD и трапеция АВЕК с основанием ЕК, не лежащие в одной плоскости. Выясните взаимное расположение прямых CD и ЕК. Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность и АВ=22,5 см, ЕК=27,5 см.

19. Плоскости a и b параллельны, прямая m лежит в плоскости a. Докажите, что прямая m параллельна плоскости b.

20. Две стороны треугольника параллельны плоскости a. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости a.

21. Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.

22. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N и P – середины отрезков BA, BC и BD соответственно. Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см2.

23. Плоскости a и b параллельны, А – точка плоскости a. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А и параллельная плоскости b, лежит в плоскости a.

24. Плоскости a и b параллельны g. Докажите, что a и b параллельны.

25. Для проверки горизонтальности установки диска угломерных инструментов пользуются двумя уровнями в плоскости диска на пересекающихся прямых. Почему уровни нельзя располагать на параллельных прямых?

26. Даны пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым а и b, и притом только одна.

27. Параллельные плоскости a и b пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А1 и А2, а сторону АС этого угла – соответственно в точках В1 и В2. Найдите: а) АА2 и АВ2, если А1А2=2А1А, А1А2=12 см, АВ1=5 см; б) А2В2 и АА2, если А1В1=18 см, АА1=24 см, АА2=1,5 А1А2.