Планы – конспекты уроков по теме «Центральные и вписанные углы»

По данным рисункам, решить задачи:

1) На рисунке 10 изображена окружность с центром О, . Найдите углы треугольника АОВ и .

Ученик. .

2) Дана окружность (рис.11) с центром О, КМ – биссектриса угла АКВ. Докажите, что ОМ – биссектриса угла АОВ.

III. Изучение нового материала (15 мин)

1. Ввести понятие вписанного угла, используя заготовленный на доске рисунок 12.

Учитель.

Ребята на доске изображен угол АВС, он называется вписанным. Давайте попробуем дать определение вписанного угла.

Учитель.

Что мы можем сказать об этом угле?

Ученик.

Вершина вписанного угла лежит на окружности.

Учитель.

А что мы можем сказать о сторонах этого угла?

Ученик.

Стороны вписанного угла пересекают окружность.

Учитель.

Попытайтесь сформулировать определение вписанного угла.

Ученик.

1. Если вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, то угол называется вписанным.

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Учитель.

На данном рисунке мы видим, что дуга АМС расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол АВС опирается на дугу АМС.

2. Доказать теорему о вписанном угле.

Рассмотрение теоремы можно начать с доказательства отдельных частных случаев, и тогда учащиеся смогут сформулировать эту теорему как обобщение полученных результатов самостоятельно.

Учитель.

Для того, чтобы нам с вами сформулировать теорему о вписанном угле, давайте у доски решим вместе с вами три задачи [4].

Ученик 1.

Задача № 1.

Угол АВС вписанный, причем ВС – диаметр. Причем луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС. Найти - ?

Решение. Дуга АС меньше полуокружности, поэтому .

Так как угол АОС – внешний равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то .

Отсюда следует, что или .

Ученик 2.

Задача № 2.

Угол АВС вписанный. Луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (рис. 14). Причем луч ВО делит угол АВС на два угла. Найдите - ?

Решение. Точка D разделяет дугу АС на две дуги: и . По доказанному и . Складывая эти равенства почленно получаем: или .

Задача № 3.

Угол АВС вписанный. Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со сторонами этого угла.

Учитель.

Пользуясь рисунком 15 решите эту задачу самостоятельно, а затем обсудим с вами решение этой задачи (к доске вызвать одного ученика, чтобы он записал решение этой задачи).

Учитель.

Итак, что мы получили в результате решения этих трех задач?

Ученик.

Мы получили одинаковый результат .

Учитель.

Сформулируйте теорему, которую мы доказали с помощью этих трех задач?

Ученик.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Учитель.

Из данной теоремы вытекает два следствия. Давайте сформулируем эти следствия.

Учитель.

Что можно сказать об углах изображенных на рисунке 16.

Ученик.

Даны вписанные углы, они опираются на одну и туже дугу, они равны.

Учитель.

Мы с вами сформулировали следствие 1 из теоремы.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу равны (рис 16).

Учитель.

Что можно сказать об углах изображенных на рисунке 17.