Определение. Пусть имеются две прямоугольные декартовые системы координат Oij и O/i/j/, при этом |i/|=|j/|=k|i|=k|j|=k (k>0). Тогда преобразование плоскости, которое каждой точки М с координатами (x, y) относительно O/i/j/ ставит в соответствии точку М' с теми же координатами (x, y), но относительно Oij, называется преобразованием подобия плоскости с коэффициентом подобия k.
Из определения следует, что тождественное преобразование и движение являются преобразованиями подобия.
Основное свойство преобразования подобия.
Преобразование подобия плоскости изменяет расстояние между любыми двумя точками плоскости в одном и том же отношении, равном коэффициенту подобия k, т. е. для любых точек М, N и их образов М', N' выполняется равенство |M/N/|=k.
Доказательство. Пусть относительно Oij точки М и N имеют координаты: М(x1, y1), N(x2, y2). Тогда =
Образы М' и N' точек М, N имеют соответственно те же координаты (x1, y1), (x2, y2) относительно системы координат O/i/j/. Найдём:
= =
=
=
=
=
, так как
и
.
Свойства преобразования подобия.
Преобразование подобия плоскости всякую прямую отображает в прямую.
Преобразование подобия плоскости отображает полуплоскость с границей
в полуплоскость с границей
где
.
Преобразование подобия плоскости сохраняет простое отношение трёх точек прямой.
Преобразование подобия плоскости сохраняет отношение “лежать между”.
Преобразование подобия плоскости отображает угол в равный ему угол.
Преобразование подобия плоскости отображает отрезок в отрезок, луч в луч.
Преобразование подобия плоскости отображает параллельные прямые в параллельные прямые.
Следствие. Преобразование подобия плоскости отображает параллелограмм в параллелограмм.
Преобразование подобия плоскости отображает вектор в вектор, сумму векторов в сумму векторов и произведение числа на вектор в произведение того же числа на соответствующий вектор.
Теорема. Если преобразование подобия f с коэффициентом подобия k задано двумя системами координат Oij и O/i/j/, при этом и O/(x0,y0), то координаты любой точки M(x,y)Oij и её образа M/(x/,y/)O/i/j/ связаны соотношениями:
где
(1)
Полезная информация:
Виды, функции тестов и требования к ним при
обучении математике
Тесты бывают разных видов: Тесты с однозначным выбором ответа. На каждое задание предлагается несколько вариантов ответа, из которых только один верный. В математике это обычно числовые ответы или ответы в координатной записи. 2. Тест с многозначным ответом. В варианты ответа может быть внесено бол ...
Психолого-педагогический аспект изучения темы «Углы» в 8 классе средней
общеобразовательной школы
Отрочество, подростковый возраст – период жизни человека от детства до юности (от 11- 12 лет до 14-15 лет). В этот самый короткий по астрономическому времени период подросток проходит великий путь в своем развитии: через внутренние конфликты с самим собой и с другими; через внешние срывы и колоссал ...
Становление и развитие идеи профильной дифференциации в истории отечественной
и зарубежной педагогики
Идея профильной дифференциации обучения прослеживается в отечественной педагогике практически с начала введения массовых форм обучения, т.е., уже с первой трети XVIII в. Однако первоначально профильно-дифференцированный подход выступал в форме учёта индивидуальных ("профильных") особеннос ...