Доказательство опирается на определение преобразования подобия, на формулы, связывающие координаты одной и той же точки относительно двух прямоугольных декартовых систем координат, на разложение вектора по базисам.
Замечание. При системы координат Oij и O/i/j/ одинаково ориентированы, а при противоположено ориентированы.
Определение. Преобразование подобия плоскости, определяемое формулами (1) называется преобразованием подобия первого рода при и преобразованием подобия второго рода при .
Из основного свойства преобразования подобия и верного утверждения, обратного ему (если преобразование плоскости изменяет расстояние между точками в одном и том же отношении, равном k>0, то оно является преобразованием подобия с коэффициентом подобия k), следует другое определение преобразования подобия. Определение. Преобразованием подобия плоскости с коэффициентом подобия k>0 называется преобразование плоскости, изменяющее расстояние между любыми точками в одном и том же отношении, равном k.
Гомотетия плоскости.
Определение. Гомотетией плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии называется преобразованием плоскости, которое всякой точке М плоскости ставит в соответствии точку М/ по закону
.
Обозначение. - гомотетия плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии k.
Определение. Гомотетичными называются фигуры и =.
Гомотетичные точки М и М/ лежат на одной прямой с центром гомотетии О.
Точки М и М/ лежат по одну сторону от центра О, если k>0, и – по разные стороны, если k<0.
М/N/= |k|MN.
Гомотетия плоскости является при:
k=1-тождественным преобразованием;
k=-1-центральной симметрией.
Формулы гомотетии с центром в начале координат:
,
Если центр гомотетии имеет координаты S(x0, y0), то формулы гомотетии с центром S имеют вид:
,
Если введем обозначения , то получим формулы
,
Основное свойство гомотетии.
Для любых точек М, N и их образов , имеет место равенство:
.
Доказательство. Воспользуемся равенствами:
, , , и найдём
Полезная информация:
Начало разработки учебного плана
Тем не менее, нельзя сравнивать новый цикл разработки плана с периодическим обновлением, поскольку в первом случае группы разработчиков начинают, в известном смысле, на пустом месте. Существует, так называемое, «наследие прошлых времен» в виде многочисленных устаревших программ. Неактуальность прог ...
Индивидуальный учебный план
Проблему индивидуализации образовательного процесса нельзя отнести к числу традиционных и хорошо разработанных в отечественной педагогической науке. Анализ источников показывает, что феномен индивидуализации обучения может рассматриваться на двух различных уровнях: личностном (как особое требование ...
Дидактические игры на уроках математики
Одно из эффективных средств развития интереса к учебному предмету, наряду с другими методами и приемами, используемыми на уроках, - дидактическая игра. Еще К.Д. Ушинский советовал включать элементы занимательности, игровые моменты в учебный труд учащихся для того, чтобы процесс познания был более п ...