Преобразование подобия плоскости. Гомотетия плоскости

Доказательство опирается на определение преобразования подобия, на формулы, связывающие координаты одной и той же точки относительно двух прямоугольных декартовых систем координат, на разложение вектора по базисам.

Замечание. При системы координат Oij и O/i/j/ одинаково ориентированы, а при противоположено ориентированы.

Определение. Преобразование подобия плоскости, определяемое формулами (1) называется преобразованием подобия первого рода при и преобразованием подобия второго рода при .

Из основного свойства преобразования подобия и верного утверждения, обратного ему (если преобразование плоскости изменяет расстояние между точками в одном и том же отношении, равном k>0, то оно является преобразованием подобия с коэффициентом подобия k), следует другое определение преобразования подобия. Определение. Преобразованием подобия плоскости с коэффициентом подобия k>0 называется преобразование плоскости, изменяющее расстояние между любыми точками в одном и том же отношении, равном k.

Гомотетия плоскости.

Определение. Гомотетией плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии называется преобразованием плоскости, которое всякой точке М плоскости ставит в соответствии точку М/ по закону

.

Обозначение. - гомотетия плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии k.

Определение. Гомотетичными называются фигуры и =.

Гомотетичные точки М и М/ лежат на одной прямой с центром гомотетии О.

Точки М и М/ лежат по одну сторону от центра О, если k>0, и – по разные стороны, если k<0.

М/N/= |k|MN.

Гомотетия плоскости является при:

k=1-тождественным преобразованием;

k=-1-центральной симметрией.

Формулы гомотетии с центром в начале координат:

,

Если центр гомотетии имеет координаты S(x0, y0), то формулы гомотетии с центром S имеют вид:

,

Если введем обозначения , то получим формулы

,

Основное свойство гомотетии.

Для любых точек М, N и их образов , имеет место равенство:

.

Доказательство. Воспользуемся равенствами:

, , , и найдём