Сравнительный анализ учебников и задачников по алгебре для 7-9 классов с целью выявления основных тенденций в формировании исследовательских умений школьников

№521 * При каких значениях р уравнение х2 + 4х – 6 = р имеет два корня?

Понятие параметра в его учебнике вводится следующим образом.

«Пример 7. Решите уравнение x2- (2p+1)x + (p2+p – 2) = 0.

Решение. Это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных до сих пор тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметром. В данном случае параметр (буква) р входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения».

При решении квадратных уравнений А.Г. Мордкович вводит много заданий с параметрами, используя в формулировке задания само слово «параметр».

№794. При каких значениях параметра р уравнение:

а) х2 + р х + 24 = 0 имеет корень равный 6;

б) 3х2 + рх -54 = 0 имеет корень, равный -5;

№820*. При каких значениях параметра р имеет один корень:

а) х2- р х + 9 = 0;

б) х-2рх+3р=0.

А.Г. Мордкович очень большое внимание уделяет таким заданиям.

Далее задания с параметрами встречаются у А.Г. Мордковича, Ш.А. Алимова и др., С.М. Никольский и др., Ю.Н. Макарычев и др. в учебниках 9 класса.

В 9 классе в основном рассматривается решение квадратных уравнений с параметрами и решение параметрических неравенств.

В учебнике Ю.Н. Макарычева в дополнительных упражнениях к главе 1 «Квадратичная функция» встречается такое задание. №161. При каком значении р выражение 2рх-2х-2р-3 становится квадратным трехчленом, одним из корней которого является число нуль? Найдите второй корень. После изучения темы «Уравнения с одной переменной» встречаются такие задания:

№210. При каких значениях b уравнение имеет два корня?

а) 2х2+6х+b = 0

б) x2 +bx + 5 = 0

№209. При каких значениях р корень уравнения 9х = р- 2 отрицателен?

В учебнике Ш.А. Алимова и др. на протяжении всего курса математики 9 класса практически таких заданий не встречается. Только лишь в конце учебника в разделе «Упражнения для повторения курса алгебры 7-9 классов», учащиеся встречаются с решением квадратных параметрических уравнений и неравенств.

№ 826. Найти все значения r, при которых уравнение

x2 +(4+2r)х + 5 + 4r = 0 имеет:

а) равные корни;

б) корни равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку.

В задачнике А.Г. Мордковича для 9 классов в самом начале учащимся предоставляется возможность вспомнить решение квадратных параметрических уравнений и неравенств.

№11. При каких значениях параметра р квадратное уравнение

3х2 - 2рх-р+6 = 0:

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней.

№18. Найдите такое натуральное значение параметра р, при котором во множестве решений неравенства

(х-8)( р + х)≤ 0 содержатся

а) десять целых чисел;

б) два отрицательных целых числа;

в) четыре целых положительных числа;

г) только положительные целые числа.

Затем учащиеся встречаются с параметрами при решении системы уравнений.

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

В каждом проанализированном учебнике задания, содержащие параметр, используется для проверки знаний и умений, приобретенных во время изучения той или иной темы. Предлагаются задания творческого характера, требующие от учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных условиях;

Ни в одном из рассмотренных учебников не даётся чёткого определения параметра;

Во всех учебниках задания однотипны.

Для формирования умения решать параметрические уравнения и неравенства с параметром материалы учебников необходимо дополнить:

1) разъяснениями самого понятия «параметр»;

разъяснениями самого понятия «уравнения и неравенства с параметрами»;

материалом, направленным на уточнение понятия, что значит «решить параметрическое уравнение или неравенство»;

образцами (в необходимом объеме) решения параметрических уравнений и неравенств: хода рассуждения и оформления решения;

разъяснениями по поводу записи и «прочтения» ответа.