Логические методы познания

Возможность применения аналогии, казалось бы, к совершенно различным объектам основана на совпадении математических моделей этих объектов или принадлежности этих моделей к одному классу.

Часто та или иная последовательность в изучении учебного материала обосновывается возможностью использования аналогии в обучении. Например, изучение десятичных дробей раньше обыкновенных объясняется не только тем, что именно десятичные дроби широко применяются в практике, но и возможностью использования при изучении арифметики десятичных дробей аналогии с арифметикой натуральных чисел. При изучении свойств алгебраических дробей можно использовать аналогию с обыкновенными дробями. Аналогия может служить базой для одновременного изучения арифметической и геометрической прогрессий.

Однако в установившейся практике обучения математике аналогия используется недостаточно. Иногда высказываются опасения, что с помощью аналогии мы можем прийти к ложным заключениям. Например, исходя из того, что предложение а || b и а || с => b || с (1) верно (является теоремой) и на плоскости и в пространстве, а обратное предложение а || c и b || с => a || b (2) верно на плоскости (является теоремой планиметрии), по аналогии утверждают, что предложение (2) верно и в пространстве, и приходят, таким образом, к ложному заключению.

Надо, однако, помнить, что в этом случае заключение по аналогии лишь правдоподобие и поэтому подлежит еще доказательству (или опровержению).

Следует отметить как недостаток, что (в практике обучения) опровержению мы почти не учим. Это является и серьезным упущением в общеобразовательном и воспитательном отношении, так как в жизни нередко возникает необходимость опровергать.

Исходя из истинности предложения (2) на плоскости, необходимо выяснить, имеет ли место аналогичное свойство в пространстве. Так как это предложение является общим, то для его опровержения достаточно найти такие прямые а, b, с, чтобы условие (а || c и b || с) выполнялось, а заключение (а || b) не выполнялось.

Мы не должны опасаться возникновения ложных заключений по аналогии. Необходимо лишь считать их гипотезами (предположениями). Ошибки, допускаемые в процессе поиска, исследования, вполне правомерны, так как чаще всего поиск ведется способом «проб и ошибок». В установившейся практике обучения, как правило, мы не даем учащимся, отвечающим на вопросы учителя, ошибаться. В этом отражается тот факт, что учебная деятельность учащихся является в основном лишь репродуктивной, а в такой деятельности ошибки недопустимы. Воспроизводить необходимо безошибочно.

В продуктивной же, творческой деятельности ошибки неизбежны. Такого рода ошибками являются и те, которые появляются в результате применения аналогии в процессе поиска. Они являются составной частью метода проб и ошибок. Важно, чтобы учащиеся в поиске правильных ответов сами могли находить ошибочность возникающих в этом процессе предположений. Этому, разумеется, надо их учить.

Находить сходство, которое могло бы служить источником плодотворных рассуждений по аналогии, бывает нелегко даже в том случае, когда природа сравниваемых объектов одинакова.