Сопоставление результатов констатирующего и контрольного срезов

8. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

9. Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СD, если: 1) АВ=3 см, ВС=7 см, АD=1,5 см; 2) ВD=9 см, ВС=16 см; АD=5 см.

10. Прямая ОА перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка О является серединой отрезка АD. Докажите, что: а) АВ=DВ; б) АВ=АС, если ОВ=ОС; в) ОВ=ОС, если АВ=АС.

11. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК=b.

12. В треугольнике АВС дано: ÐС=90°, АС=6 см, ВС=8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК=12 см. Найдите КМ.

13. Прямая СD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой СD. Известно, что АВ=16Ö3 см, ОК=12 см, СD=16 см. Найдите расстояния от точек D и К до вершин А и В треугольника.

14. Докажите, что через любую точку данной прямой можно провести перпендикулярную ей плоскость.

15. Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной плоскости.

16. Докажите, что расстояния от всех точек плоскости до параллельной плоскости одинаковы.

17. Прямая PQ параллельна плоскости a. Через точки P и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости a, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках P1 и Q1. Докажите, что PQ= P1Q1.

18. Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости a и пересекающие ее соответственно в точках P1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ=15 см, РP1=21,5 см, QQ1=33,5 см.

19. Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника MBD, где D – произвольная точка прямой АС.

20. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ так, что МА=МС, МВ=МD. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

21. Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что ÐМВА= ÐМВС=90°, МВ=m, АВ=n. Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата; б) прямых АС и ВD.

22. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, то и другая плоскость перпендикулярна этой прямой.

23. Докажите, что если точка Х равноудалена от концов данного отрезка АВ, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к прямой АВ.

24. Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

25. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен φ. Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d. Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.

26. Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к α перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ÐОАВ=ÐВАС=60°, АО=1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

27. Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится от нее на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.