Роль и место параметрических уравнений и неравенств в формировании исследовательских умений учащихся

Несмотря на то, что программа по математике средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибкой утверждать, что вопрос о решении задач с параметрами никоим образом не затрагивается в рамках школьного курса математики. Достаточно вспомнить школьные уравнения: ax2+bx+c=0, у=kх, у=kх+b, ax=b, в которых а, b, с, k не что иное, как параметры. Но в рамках школьного курса не заостряется внимание на таком понятии, параметр, в чем его отличие от неизвестного.

Опыт показывает, что задачи с параметрами являются наиболее сложным в логическом и техническом планах разделом элементарной математики, хотя с формальной точки зрения математическое содержание таких задач не выходит за пределы программ. Это вызвано различными точками зрения на параметр. С одной стороны, параметр можно рассматривать как переменную, которая при решении уравнений и неравенств считается постоянной величиной, с другой — параметр - это величина, численное значение которой не задано, но должно считаться известным, причем параметр может принимать произвольные значения, т.е. параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет обращаться с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы ограничивается его неизвестностью.

В каждом из описаний природы параметров имеется неопределенность - на каких этапах решения параметр может рассматриваться в качестве константы и когда играет роль переменной величины. Все эти противоречивые характеристики параметра могут в самом начале знакомства вызвать у учащихся некий психологический барьер.

В связи с этим на начальном этапе знакомства с параметром очень полезно как можно чаще прибегать к наглядно-графической интерпретации полученных результатов. Это не только позволяет преодолеть естественную неуверенность учеников перед параметром, но и дает учителю возможность параллельно, в качестве пропедевтики, приучать учеников при решении задач использовать графические приемы доказательства. Не следует также забывать, что использование хотя бы схематических графических иллюстраций в некоторых случаях помогает определить направление исследований, а иногда и позволяет сразу подобрать ключ к решению задачи. Ведь для определенных типов задач даже примитивный рисунок, далекий от настоящего графика, дает возможность избежать различного рода ошибок и более простым способом получить ответ к уравнению или неравенству.

Решение математических задач вообще является наиболее трудной частью деятельности школьников при изучении математики и объясняется это тем, что для решения задач требуется достаточно высокий уровень развития интеллекта высшего уровня, т.е. теоретического, формального и рефлексивного мышления, а такое мышление, как уже отмечалось, еще только развивается в подростковом возрасте.

Вместе с тем трудно переоценить роль задач с параметрами в развитии у школьников пространственных представлений. Они по своей постановке и методам решения не только наилучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчетливо представлять изображение графика той или иной функции и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этого графика. Задачи с параметрами способствуют пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур и графиков функций, возможности их преобразования - все это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. Кроме того, эти задачи хорошо развивают логическое мышление, геометрическую интуицию. Вообще, в процессе решения задач с параметрами учитель может эффективно формировать элементы алгоритмической культуры.

Главная особенность задач с параметрами - ветвление решения в зависимости от значений параметров Другими словами, процесс решения осуществляется классификацией частных уравнений (неравенств) по типам с последующим поиском общих решений каждого типа.

Одновременное решение бесконечной совокупности частных уравнений и неравенств с учетом требования равносильности преобразований возможно лишь при развитии достаточного уровня логического мышления. С другой стороны, формирование методов решения уравнений и неравенств с параметрами обеспечивает значительный прогресс в развитии математической культуры учащихся. Развивающий характер уравнений и неравенств с параметрами определяется их способностью реализовать многие виды мыслительной деятельности учащихся:

Выработка определенных алгоритмов мышления;

Умение определить наличие и количество корней (в уравнении, системе);

Решение семейств уравнений, являющихся следствием данного;

Выражение одной переменной через другую;

Нахождение области определения уравнения;