Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.
Доказательство.
Если
и
- преобразования подобия с коэффициентами
и
, то
- преобразования подобия с коэффициентом
. Действительно
является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов
,
Выполняется равенство
. Обозначим
и
, тогда
,
. По основному свойству преобразования подобия
,
. Поэтому
и композиция
является преобразованием подобия.
Пусть
– преобразование подобия плоскости. Так как
изменяет всё расстояние в отношение
, то обратное к нему преобразование
изменяет все расстояния в отношении
.
Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом
.
Оба условия и
выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.
Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.
Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:
Группа преобразований подобия первого рода;
Группа движений и все её подгруппы;
Группа гомотетий и параллельных переносов;
Группа гомотетий с одним и тем же центром.
Полезная информация:
Виды занятий по аппликации в старшей группе
Индивидуальные и коллективные формы аппликации могут быть различного содержания. В зависимости от этого принято подразделять занятия по видам. Сюда включается предметная, сюжетно-тематическая и декоративная аппликация. Каждый из этих видов ставит перед ребенком определенные задачи, связанные со спе ...
Тест как средство измерений знаний. Формы тестовых заданий
Педагогический контроль – система проверки результатов познавательной деятельности студентов, т.е. определение степени и качества достижения учебных целей. Общие требования к педагогическому контролю: Соответствие сквозной программе дисциплины. Адекватное использование методов. Педагогический контр ...
Основные подходы к пониманию профессиональной мобильности
Проведенный анализ работ по представленной проблеме (Н. Хомский, Р. Уайт, Дж. Равен, Н.В. Кузьмина, А.К. Маркова, В.Н. Куницина, Г.Э. Белицкая, Л.И. Берестова, В.И. Байденко, А.В. Хуторской, Н.А. Гришанова и др.) позволил условно выделить три этапа становления компетентностного подхода в образовани ...