Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Полезная информация:

Сравнение с российской системой планирования образования
В Российской Федерации не существует стройного концентрического ряда учебных планов различных уровней. Тем не менее, все виды учебных планов, разрабатываемых в Нидерландах, имеют свои аналоги в России. Многие из параметров голландских учебных планов содержатся в той или иной мере в разнообразных до ...

Понятие и сущность педагогического мастерства
В настоящее время в психолого-педагогической литературе понятие педагогического мастерства характеризуется множественностью и неоднозначностью его трактовок (Н.В. Кузьмина, А.К. Маркова, А.В. Петровский, Ю.П. Азаров, М.М. Кашапов, Ю.Н. Кулюткин, В.В. Сериков, В.А. Сластенин, и др.). За каждой из ни ...

Психологическая помощь старшеклассникам по инициативе психолога
Несмотря на утвердившиеся представления о старшеклассниках как о людях, полностью обращенных в будущее, можно найти немало свидетельств их поглощенности настоящим. Даже самоопределение, хотя и направлено всеми своими целями, ожиданиями, надеждами в будущее, осуществляется все же как самоопределение ...

Категории

Copyright © 2025 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru