Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.
Доказательство.
Если
и
- преобразования подобия с коэффициентами
и
, то
- преобразования подобия с коэффициентом
. Действительно
является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов
,
Выполняется равенство
. Обозначим
и
, тогда
,
. По основному свойству преобразования подобия
,
. Поэтому
и композиция
является преобразованием подобия.
Пусть
– преобразование подобия плоскости. Так как
изменяет всё расстояние в отношение
, то обратное к нему преобразование
изменяет все расстояния в отношении
.
Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом
.
Оба условия и
выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.
Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.
Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:
Группа преобразований подобия первого рода;
Группа движений и все её подгруппы;
Группа гомотетий и параллельных переносов;
Группа гомотетий с одним и тем же центром.
Полезная информация:
Аудиовизуальная культура и пути ее формирования
Аудиовизуальная культура - область культуры, связанная с получившими широкое распространение современными техническими способами записи и передачи изображения и звука - кино, телевидение, видео, системы мультимедиа. Семиотически аудиовизуальные тексты представляют собой знаковые ансамбли, соединяющ ...
Характеристика качеств навыков чтения
Чтение — важный вид речевой деятельности, который вначале выступает только в качестве предмета обучения, затем становится средством обучения и развития детей. В чтении, как и в любой деятельности, выделяются такие основные компоненты, как мотивационно-целевой, исполнительный и контрольный. Под моти ...
Характеристика детей экспериментальной группы
В экспериментальную группу вошло 15 детей, которые посещали общеобразовательные дошкольные учреждения. Из них - 10 детей с доминирующим черкесским языком и с недоминирующим русским, 4 ребенка с доминирующим русским и с недоминирующим черкесским, 1 ребенок, абсолютно эквивалентно владеющий 3-мя язык ...