Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.
Доказательство.
Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.
Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .
Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .
Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.
Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.
Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:
Группа преобразований подобия первого рода;
Группа движений и все её подгруппы;
Группа гомотетий и параллельных переносов;
Группа гомотетий с одним и тем же центром.
Полезная информация:
Особенности развития детей младшего дошкольного возраста
Младший возраст – важнейший период в развитии дошкольника. Именно в это время происходит переход малыша к новым отношениям с взрослыми, сверстниками, с прежним миром. Психологи обращают внимание на «кризис трех лет», когда младший дошкольник, еще недавно такой покладистый, начинает проявлять нетерп ...
Обоснование содержания и методики физического воспитания оздоровительной
направленности девушек 10-11классов
В течение последнего десятилетия повышенный интерес у педагогов вызывает проблема совершенствования физического воспитания девушек старшего школьного возраста связанного с ухудшением состояния их здоровья. Это определяет актуальность проблемы физического воспитания и требует дальнейшего совершенств ...
Ступени высшего профессионального образования, сроки и формы его получения
1. Основные образовательные программы высшего профессионального образования могут быть реализованы непрерывно и по ступеням. 2. В Российской Федерации устанавливаются следующие ступени высшего профессионального образования: высшее профессиональное образование, подтверждаемое присвоением лицу, успеш ...