Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Полезная информация:

Аудиовизуальная культура и пути ее формирования
Аудиовизуальная культура - область культуры, связанная с получившими широкое распространение современными техническими способами записи и передачи изображения и звука - кино, телевидение, видео, системы мультимедиа. Семиотически аудиовизуальные тексты представляют собой знаковые ансамбли, соединяющ ...

Характеристика качеств навыков чтения
Чтение — важный вид речевой деятельности, который вначале выступает только в качестве предмета обучения, затем становится средством обучения и развития детей. В чтении, как и в любой деятельности, выделяются такие основные компоненты, как мотивационно-целевой, исполнительный и контрольный. Под моти ...

Характеристика детей экспериментальной группы
В экспериментальную группу вошло 15 детей, которые посещали общеобразовательные дошкольные учреждения. Из них - 10 детей с доминирующим черкесским языком и с недоминирующим русским, 4 ребенка с доминирующим русским и с недоминирующим черкесским, 1 ребенок, абсолютно эквивалентно владеющий 3-мя язык ...

Категории

Copyright © 2025 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru