Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.
Доказательство.
Если
и
- преобразования подобия с коэффициентами
и
, то
- преобразования подобия с коэффициентом
. Действительно
является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов
,
Выполняется равенство
. Обозначим
и
, тогда
,
. По основному свойству преобразования подобия
,
. Поэтому
и композиция
является преобразованием подобия.
Пусть
– преобразование подобия плоскости. Так как
изменяет всё расстояние в отношение
, то обратное к нему преобразование
изменяет все расстояния в отношении
.
Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом
.
Оба условия и
выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.
Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.
Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:
Группа преобразований подобия первого рода;
Группа движений и все её подгруппы;
Группа гомотетий и параллельных переносов;
Группа гомотетий с одним и тем же центром.
Полезная информация:
Сравнение с российской системой планирования образования
В Российской Федерации не существует стройного концентрического ряда учебных планов различных уровней. Тем не менее, все виды учебных планов, разрабатываемых в Нидерландах, имеют свои аналоги в России. Многие из параметров голландских учебных планов содержатся в той или иной мере в разнообразных до ...
Понятие и сущность педагогического мастерства
В настоящее время в психолого-педагогической литературе понятие педагогического мастерства характеризуется множественностью и неоднозначностью его трактовок (Н.В. Кузьмина, А.К. Маркова, А.В. Петровский, Ю.П. Азаров, М.М. Кашапов, Ю.Н. Кулюткин, В.В. Сериков, В.А. Сластенин, и др.). За каждой из ни ...
Психологическая помощь старшеклассникам по инициативе психолога
Несмотря на утвердившиеся представления о старшеклассниках как о людях, полностью обращенных в будущее, можно найти немало свидетельств их поглощенности настоящим. Даже самоопределение, хотя и направлено всеми своими целями, ожиданиями, надеждами в будущее, осуществляется все же как самоопределение ...