Группа преобразований множества. Подгруппа группы преобразований

В геометрии приходится производить не одно, а несколько преобразований, следующих друг за другом. Случай, когда рассматривается совокупность преобразований, обладающая тем свойством, что каждую конечную последовательность преобразований этой совокупности можно заменить одним преобразованием той же совокупности, и преобразование, обратное любому из рассматриваемых преобразований, снова принадлежит данной совокупности. Это называется - группа преобразований. Рассмотрение группы преобразований позволяет выделить ряд геометрических свойств. Знание свойств, не меняющихся при преобразованиях той или иной группы, часто позволяет упростить решение конкретных геометрических задач.

Определение. Преобразованием фигуры называется любое биективное отображение фигуры на себя.

Теорема (о группе преобразований). Множество W всех преобразований фигуры есть группа.

Следствие. Множество всех преобразований плоскости является группой преобразований относительно композиции преобразований.

Определение. Подгруппой V группы W называется подмножество V множества W, являющееся группой относительно бинарной операции, определенной в W.

Теорема (о подгруппе). Для того чтобы подмножество V группы W было подгруппой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

Если W, W, то V.

Если V, то V

Полезная информация:

Понятие преобразования
Изложение теории геометрических преобразований начнём с общих определений. Определение. Отображением f множества X в множество Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу x множества X соответствует вполне определённый элемент y множества Y. Oобозначение.f: X Y Элемент y называетс ...

Виды орнаментов, характерных для росписи в технике холодного батика
Не смотря на то, что Центральная Ява является одной из главных провинций Индонезии, дизайн батика зависит от региона (на Яве их 29), где он создается. Можно выделить несколько художественных элементов орнамента для повседневного, праздничного и традиционного батика в таких округах, как Джокьякарта, ...

Анализ документации, необходимой при лицензировании образовательных программ
Лицензирование образовательной деятельности высшего учебного заведения по новым для него направлениям подготовки производится на общих основаниях независимо от наличия у высшего заведения лицензии, например, в данный момент в ПАГСе лицензируемы все (количество) специальности и в тоже время проходят ...

Категории

Copyright © 2025 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru